湍流理论的发展历程

2026-09-08 · 2026-09-11 重整

水龙头开得很小时，水流可以保持平顺；继续增大流量，水柱和内部流动会逐渐出现摆动、卷吸和细小涡旋。河流、飞机表面、燃气轮机、火箭发动机以及散热通道中的流动也有类似现象。湍流的共同特征是速度和压力持续脉动，涡旋跨越很大的尺度范围，并且不同尺度之间不断交换能量。

今天研究湍流时会同时使用控制方程、统计理论、实验和数值模拟，但这套认识经历了很长的积累。过去两百年里，研究重点大致经历了几个阶段：先建立黏性流体方程，再辨认层流和湍流的转变，随后用平均量处理复杂脉动，之后建立能量级联和多尺度理论，最后依靠计算机直接观察越来越多的湍流细节。

从方程到雷诺实验：19世纪的起点

19世纪上半叶，Navier 和 Stokes 逐步建立了黏性流体运动方程。对于不可压缩牛顿流体，常见形式为

$$ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial t} +\boldsymbol{u}\cdot\nabla\boldsymbol{u} =-\frac{1}{\rho}\nabla p +\nu\nabla^2\boldsymbol{u} +\boldsymbol{f}, \qquad \nabla\cdot\boldsymbol{u}=0. $$

方程写出后，湍流问题并没有随之结束。非线性对流项 $\boldsymbol{u}\cdot\nabla\boldsymbol{u}$ 会让不同尺度的运动持续耦合，高雷诺数流动中还会出现越来越细的空间结构，解析求解很快失去可行性。

1883年，Osborne Reynolds 做了后来极有代表性的圆管染色实验。他把染料注入管内水流：低流速时染料保持细直线，高流速时染料迅速散开。这个实验清楚展示了层流、转捩和湍流之间的变化，也促成了雷诺数的广泛使用：

$$ Re=\frac{\rho U L}{\mu}=\frac{UL}{\nu}. $$

$Re$ 表示惯性作用与黏性作用的相对强弱。对于圆管内流，在常见实验条件下，$Re$ 到约 $2300$ 附近会进入转捩敏感区，但临界值会受到入口扰动、管壁状态和实验环境影响。因此，雷诺数给出的是判别尺度，并不意味着所有流动都存在同一个固定的临界数。

1895年，Reynolds 又提出把瞬时速度写成平均量和脉动量之和：

$$ u_i=\overline{u_i}+u_i'. $$

把这个分解代入 Navier–Stokes 方程并取平均，会出现新的相关项 $\overline{u_i'u_j'}$，它后来被称为雷诺应力。平均方程减少了对每一个瞬时涡旋的追踪，但也带来了湍流封闭问题：未知的统计量比原方程中的未知量更多。此后相当长时间里，工程湍流理论都在研究怎样合理表示这些附加项。

Prandtl时代：把湍流变成可以计算的工程问题

20世纪初，Ludwig Prandtl 对近壁流动的理解产生了长期影响。1904年的边界层理论指出，高雷诺数流动中，黏性效应主要集中在壁面附近的薄层内，外部主流可以表现出完全不同的尺度特征。这个思想让阻力、分离和近壁传热问题有了清楚的分析框架。

1925年前后，Prandtl 又提出混合长度思想，用流体微团在垂直于主流方向上的交换距离估计湍流动量输运。一个常见表达是

$$ \nu_t=l_m^2\left|\frac{\partial U}{\partial y}\right|, $$

其中 $\nu_t$ 是湍流涡黏度，$l_m$ 是混合长度。它把复杂的脉动输运转成一个可用于平均方程的等效扩散过程。这个模型很粗糙，却建立了一个影响深远的工程思路：放弃逐个求解所有涡旋，转而描述它们对平均流动的总体作用。

同一时期，Taylor 等人开始系统研究湍流的统计性质。速度相关、尺度、各向同性等概念逐渐进入主流研究。湍流理论由单纯观察不规则运动，进入了可以讨论平均值、相关性和能量分布的阶段。

1941年：Kolmogorov把湍流组织成尺度问题

湍流中同时存在很大的涡和很小的涡。早期研究知道这一点，但缺少一套清楚的尺度图景。1941年，Andrey Kolmogorov 提出局部相似理论，形成后来常说的 K41 理论。

它的基本图像是：外界把能量输入大尺度涡，大涡通过非线性作用把能量传给更小的涡，能量沿尺度逐级向下传递；到了足够小的尺度，黏性开始占主导并把机械能耗散为热。这个过程被称为能量级联。

在高雷诺数、局部各向同性等假设下，小尺度主要由运动黏度 $\nu$ 和单位质量耗散率 $\varepsilon$ 决定，由此得到 Kolmogorov 微尺度

$$ \eta=\left(\frac{\nu^3}{\varepsilon}\right)^{1/4}. $$

在大尺度与耗散尺度之间的惯性区间，能谱满足著名的 $-5/3$ 标度：

$$ E(k)=C_K\varepsilon^{2/3}k^{-5/3}. $$

这里的 $k$ 是波数，可以理解为尺度的倒数。这个关系的重要性在于，它把看起来杂乱的湍流放进了一个统一的多尺度框架。之后大量风洞实验、大气测量和数值计算都观察到了与这套理论相符的惯性区间特征。

K41 并没有覆盖湍流的全部细节。实际湍流的耗散会集中在局部细丝、薄层和强剪切区域，高阶统计量会偏离简单的尺度律。后来的间歇性研究、精细相似理论和多重分形方法，都是在继续处理这些偏离。

从平均模型到DNS、LES：计算机改变研究方法

20世纪中后期，湍流研究逐渐分成几种计算层级。它们解决同一套流动方程，但对尺度的处理不同。

RANS 延续 Reynolds 平均的思路，只计算平均流动，把全部湍流脉动的影响交给模型。20世纪60—70年代以后，$k$–$\varepsilon$ 等两方程模型逐渐成熟，之后又发展出 $k$–$\omega$、SST 等模型。RANS 的计算成本低，至今仍是工程 CFD 中最常见的做法。

LES，也就是大涡模拟，保留网格能够分辨的大尺度涡，只对更小尺度进行亚格子建模。Smagorinsky 在1963年给出了早期经典模型，随后随着计算能力提升，LES 被用于越来越复杂的剪切流、燃烧和气动问题。它能直接呈现大尺度非定常结构，计算成本也明显高于 RANS。

DNS 直接解析从大尺度到 Kolmogorov 微尺度的全部动态，不使用湍流模型。1970年代以后，谱方法和高性能计算推动了 DNS 的发展。1987年 Kim、Moin 和 Moser 对充分发展槽道湍流进行 DNS，得到的近壁统计和结构数据成为后续模型研究的重要基准。DNS 的代价会随雷诺数迅速增长，因此今天仍主要用于基础研究和规模受限的问题。

这三种方法并不存在简单的高低之分。RANS 面向工程平均量，LES 更关注较大的非定常结构，DNS 用于解析完整尺度。后来出现的 DES、IDDES 等混合 RANS–LES 方法，则试图在近壁区保留较低成本，在分离区解析更多大尺度运动。

湍流开始有“结构”：相干运动、混沌和间歇性

随着高速测量和可视化技术进步，研究者发现湍流并不是毫无组织的随机噪声。边界层中会反复出现低速条带、扫掠、喷射和发卡涡等相干结构，它们承担了大量动量和能量输运。1967年 Kline 等人的近壁可视化工作让这类结构得到广泛关注，之后 Townsend 等人的结构观点不断发展。

1963年 Lorenz 用一个低维非线性系统展示了确定性方程也会产生对初值高度敏感、长期难以预测的非周期运动。混沌理论随后进入流体研究，它解释了为什么简单的确定性动力系统也能出现复杂时间演化。不过，实际三维湍流还包含庞大的空间自由度和宽广的尺度范围，不能只用低维混沌模型描述。

从20世纪80年代开始，实验和 DNS 对小尺度间歇性的认识越来越清楚。强涡量和强耗散会集中在很小的空间区域，湍流统计因此偏离 K41 的简单自相似假设。研究重点逐渐从寻找单一普适公式，转向理解尺度之间如何耦合，以及局部结构怎样影响统计规律。

进入21世纪：高分辨率计算与数据方法并行发展

进入21世纪后，湍流理论没有被某一个新模型统一取代。更高雷诺数的 DNS、更大规模的 LES、粒子图像测速和三维实验测量不断提供新的数据，人们开始能够同时观察瞬时结构、统计规律和尺度间能量传递。

一个明显变化是模型研究开始更多利用数据。机器学习可以用于修正 RANS 模型、识别流动结构、构造降阶模型，也可以从 DNS 或实验数据库中寻找传统模型遗漏的关联。但湍流模型需要满足守恒、对称性、坐标不变性和稳定性等物理要求，因此数据方法通常要与控制方程一起使用。

现在的湍流研究已经形成几个相互联系的层面：基础理论关注能量传递、间歇性和多尺度相互作用；实验研究负责直接观察流场并提供验证；DNS 和 LES 用于研究瞬时结构；RANS 及混合模型服务于高雷诺数工程计算。这些路线长期并存，也说明湍流没有一个能够覆盖所有尺度、所有流动和所有工程目标的单一模型。

一条简化的时间线

时间	代表节点	研究认识的变化
1822—1845	Navier、Stokes	建立黏性流体运动方程
1883—1895	Reynolds	区分层流与湍流，引入雷诺数和平均分解
1904—1925	Prandtl	建立边界层和混合长度思想，工程湍流模型起步
1930年代	Taylor 等	湍流统计理论逐渐系统化
1941	Kolmogorov	建立能量级联、微尺度和惯性区间标度
1960—1980年代	相干结构、RANS、LES、DNS	结构研究与数值模拟快速发展
1990年代以后	混合方法、间歇性、高分辨率计算	更细致地处理非定常、多尺度和高雷诺数问题
2010年代以后	数据驱动与物理约束建模	利用大规模数据辅助传统湍流模型和降阶预测

湍流理论的发展并没有沿着一条直线推进。Reynolds 的平均思想解决了工程计算的入口问题，Prandtl 把近壁流动组织成可分析的区域，Kolmogorov 给出了跨尺度的统计框架，计算机又让研究者能够直接看到过去只能用统计量描述的涡结构。今天的 RANS、LES、DNS 和数据方法，仍然在延续这些早期问题：怎样描述尺度之间的作用，怎样处理不可承受的自由度，以及怎样让模型在复杂工程流动中保持可靠。